42 minutes et 12 secondes

42 minutes et 12 secondes. C'est le temps qu'il faudrait pour traverser  la Terre de part en part en se laissant tomber à travers un tunnel (en négligeant les frottements).

Il s'agit bien sûr d'une expérience de pensée. La technologie actuelle ne nous permet pas de creuser au delà d'une certaine profondeur, ni de résister à la chaleur que nous y rencontrerions.

Cette idée digne de Jules Vernes est vieille de plusieurs  siècles, mais c'est dans les années 60 que le mathématicien Paul Cooper entreprit de la mettre en équation (voir les liens ci-dessous, ce n'est d'ailleurs pas très compliqué, ce doit être du niveau lycée si mes souvenirs sont bons)

En appliquant les lois de Newton, il parvint à calculer le temps que mettrait un corps en chute libre non soumis aux frottements (vide dans le tunnel).

Le plus étonnant est qu'en modélisant la Terre par une sphère parfaite, et homogène on découvre que ce temps est le même quelque soit la trajectoire rectiligne reliant deux points de la surface terrestre:

Ainsi, que vous empruntiez la trajectoire ED, CG, HI ou FG par exemple, vous mettriez 42 minutes et 12 secondes pour ressortir de l'autre côté, juste en vous laissant tomber.

En fait, pour une planète donnée, le temps de parcours ne dépend que de la densité de la planète et de la constante gravitationnelle.

Quant au temps de parcours minimal, il s'obtient en utilisant une trajectoire hypocycloïdale, et non pas rectiligne.

Quand la technologie nous le permettra, nous pourrons peut-être construire des "trains gravitationnels" (selon la trajectoire FG par exemple, pour ne pas creuser "trop profond") vraiment écologiques puisque n'utilisant que l'interaction gravitationnelle.

Source (Time)

Preuve mathématique (pdf en anglais) (si l'on ne considère que des trajectoires en lignes droites).

Solution optimisée (hypocycloïde) (pdf en anglais)